阿基米德通过以下步骤解开皇冠之谜：
观察现象
阿基米德在洗澡时，注意到当他浸入浴缸时，水会溢出，同时他感到自己变轻了。这是因为水对他的身体产生了向上的浮力。
提出假设
阿基米德想到，如果皇冠里面含有其他金属，它的密度会不相同，在重量相等的情况下，这个皇冠的体积是不同的。他推测，物体在水中感觉有多重一定与它的密度有关。
实验验证
阿基米德将皇冠和同样重量的金子放进水里，结果发现皇冠排出的水量比金子的大。这表明皇冠的体积比相同重量的金子大，从而证明皇冠是掺假的。
发现浮力原理
阿基米德进一步思考，如果物体完全浸没在水中，物体排开的水的体积和物体本身的体积相等。他通过实验验证了这个想法，发现同等重量的物体，如果材质不同（即密度不同），排出的水量也会不同。
总结
通过上述实验和观察，阿基米德不仅成功揭开了皇冠之谜，更重要的是他发现了浮力原理，即水对物体的浮力等于物体所排开水的重量。
因此，阿基米德通过观察现象、提出假设、实验验证和发现浮力原理，成功解开了皇冠之谜，证明皇冠是掺假的。