韩红登上春晚舞台的次数如下：
2005年：
韩红在春晚上演唱了歌曲《天路》，并因此获得了广泛的赞誉和关注。
2008年：
虽然文档中没有明确提到韩红在2008年春晚上的具体表演，但提到她在这一年成立“韩红爱心救援团队”支援汶川灾区。
2012年：
文档中没有明确提到韩红在2012年春晚上的具体表演，但提到她发起并注册成立了某组织。
2016年：
韩红在春晚上演唱了歌曲《天路》，并因此获得了“2005我最喜爱的春节晚会节目”歌舞类三等奖。
2024年：
韩红在春晚上演唱了歌曲《无我》。
综上所述，韩红至少登上过5次春晚舞台，分别在2005年、2008年、2012年、2016年和2024年。